Volatilidade é risco?

Há uma velha discussão no mercado que ressurge de tempos em tempos:

Volatilidade e risco são a mesma coisa?

Francamente, essa discussão costuma aparecer no Bull Market, quando os agentes do mercado querem justificar uma maior tomada de risco. Pode reparar. Mas isso não significa que a pergunta não tenha algum mérito. Afinal, existe alguma diferença entre vol e risco?

Antes de começarmos a discussão, vale apontar que não estamos discutindo a diferença entre risco e incerteza, esse assunto já foi muito bem tratado no artigo da Femisapien. Vamos delimitar o problema, também, apenas ao Risco de Mercado. Ou seja, excluímos aqui problemas como risco operacional (quando a corretora trava ou o trader preenche uma boleta errada) e o risco de crédito (num mercado líquido e eficiente, o risco de crédito se reflete nos preços de forma eficiente e estaria contido no risco de mercado, mas normalmente não é o caso). E por fim, chamamos de volatilidade qualquer métrica de variabilidade dos retornos, como Desvio Padrão e MAD.

Também é bom definirmos o que é risco. Evitando a longa e interessante discussão filosófica, acho que podemos concordar que o risco (financeiro) é a chance de perder dinheiro. Essa perda pode ser absoluta (ter menos dinheiro do que começou) ou relativa, ajustada pela inflação ou renda fixa, por exemplo.

A verdade é que essa discussão permanece porque as duas respostas estão certas. Ou melhor, depende….

Sim, volatilidade é risco.

Se você já acompanha meus artigos há um tempo, deve imaginar que a resposta depende dos pressupostos, sempre eles.

Se o nosso pressuposto é de que os retornos logarítmicos seguem uma distribuição normal, então não há qualquer discussão, não há argumentação:

Desvio Padrão = Risco

Isso é uma verdade matemática, assim como o teorema de Pitágoras ou que 1+1=2. A validade disso vem do fato de que é possível reconstruir toda a distribuição (pdf), salvo (ignorando) a média, utilizando o desvio padrão, σ:

Qualquer métrica de risco pode ser construída usando a pdf ou o próprio desvio padrão diretamente. Quer saber quanto os retornos variam em média?

Isto é, se σ=1%, em média, em média, os retornos devem ser de ±0.67%. Agora, quer saber a probabilidade de ter um retorno menor que -5%?

Mais sofisticado? Quer o Value-at-Risk?

Essas fórmulas podem parecer complicadas, mas já têm funções prontas no Excel ou Python. O ponto é que, qualquer métrica de risco pode ser construída sabendo o desvio padrão, logo o desvio padrão contém toda a informação necessária sobre o risco.

“Mas André, você, um cara experiente do mercado, assumindo que os retornos seguem uma distribuição Normal?!”

Então, podemos assumir a normalidade? Vamos dar uma olhada nos dados. Peguei os dados de preços da Apple entre Agosto de 2003 a Agosto de 2023. Os resultados para outras ações são muito similares. Nesse período, elas apresentaram um incrível retorno médio diário de 0.035% e um desvio padrão de 1.129%

Há vários testes estatísticos para determinar se podemos rejeitar ou não a hipótese de que uma distribuição segue uma Normal. Mas ficar apresentando esses testes seria um pouco chato. Caso tenha curiosidade, procure pelo teste de Kolmogorov-Smirnov e o teste de Shapiro-Wilk. Acho que é mais interessante apresentar a intuição por trás. Vamos dar uma olhada na distribuição dos retornos diários da ação:

O gráfico faz uma comparação entre a frequência de cada retorno contra uma distribuição normal. Os retornos são mais concentrados ao redor da média, do que a distribuição normal prevê, mas isso não chega a ser um problema. Vamos dar um zoom na cauda esquerda, nos retornos menores que 3 desvios padrões. São essas as grandes perdas que interessam um investidor ou trader.

A cauda da distribuição normal praticamente desaparece, enquanto que ainda temos várias ocorrências de retornos piores que 3 desvios. Retornos piores que 3 desvios deveriam ocorrer apenas 0.3% das vezes. Como temos 4027 dias, deveriam haver mais ou menos 12 dias assim, mas empiricamente temos 38! Pior, temos 5 eventos com 6 desvios. Isso deveria acontecer 1 vez a cada 6.900 anos no mercado! Podemos até aceitar que a volatilidade vária com o tempo e ajustar os dados utilizando um modelo como GARCH, isso de fato melhora os números e é o procedimento mais correto a se fazer. Mas de forma alguma te salvo de um problema, como o 1 em 6.900 anos.

Mas se você é um investidor de longo prazo, faz seus aportes mensais e não fica acompanhando os preços todo dia, isso faz alguma diferença? Sim, curiosamente faz. Vamos olhar os dados mensais da Apple. A ação apresentou um retorno médio de 2.65% ao mesmo e um desvio padrão de 9.42%. O histograma foi o seguinte:

As barras parecem acompanhar bem a distribuição normal agora, mas ainda temos um calombo na esquerda. Será que devemos nos preocupar?

Temos apenas duas ocorrências maiores que 2 desvios. Para os 240 meses de dados, esperaríamos ver apenas uma, então não está tão ruim. Na verdade, essas duas ocorrências são de 4 desvios, ou seja, um mês a cada 1.300 anos. Ruim, mas melhor que os 6.900. Se ajustarmos pela volatilidade corrente, esse número fica ainda melhor. Nesse código em Python repito o experimento para o S&P500. O efeito da diversificação do índice melhora ainda mais as coisas, há apenas um evento de 4 desvios.

A conclusão que podemos ter é que, se você é um investidor de longo prazo, diversificado, que não olha para as flutuações diárias, o desvio padrão é uma excelente aproximação do risco do seu portfólio. Não há motivos para se aventurar por coisas mais complexas, como “caudas grossas”, “variância infinita”, etc. Ainda mais se você tiver uma reserva de emergência confortável, vol is all you need.

Mas se você opera de forma diária, ou sente no estômago as flutuações do dia, ou principalmente (!!!!!) se você opera alavancado (a corretora olha todo dia sua chamada de margem), a volatilidade conta apenas uma parte da história. E principalmente, não conta sobre o monstro que pode te atacar.

O último suspiro da Vol

Porém, antes de bater o martelo, há ainda um caso especial. Mesmo que os retornos não sigam uma distribuição normal, a volatilidade pode ser tudo que importa no risco. Um misconception comum que as pessoas têm sobre a Teoria Moderna de Portfólios (MPT) é que ela assume que os retornos seguem uma distribuição normal. Isso está errado. A MPT assume apenas que os investidores têm uma utilidade quadrática. Mas o que isso significa?

Uma quantia de R$100.000 é bem mais valiosa para você do que para o Elon Musk, isso parece óbvio, mas como medir o quão valioso o próprio dinheiro é? Para isso, os economistas e matemáticos surgiram com um conceito chamado utilidade. Ela uma função de uma coisa (nesse caso, o dinheiro) que retorna o nível de satisfação para a pessoa. A utilidade de R$100.000 é a utilidade de sua fortuna hoje acrescida desse valor menos a utilidade de sua fortuna sem esse valor, i.e U(W + 100.000) – U(W).

As funções de utilidades realistas têm uma propriedade em comum, é que a utilidade de um bem adicional vai diminuindo quanto mais daquele bem você tem.

A utilidade quadrática especificamente segue a fórmula abaixo, sendo α um parâmetro:

No começo ela cresce rápido e depois vai crescendo mais devagar, como a gente esperava. Porém, essa fórmula é para uma quantia certa de dinheiro, como ela poderia ser utilizada para a utilidade de um investimento que tem um valor incerto no futuro?

Dado um investimento X, nosso interesse é saber a utilidade esperada , ou seja, qual é a média da utilidade esperada, dado todos os possíveis cenários de X. Bom, como U é uma função não linear, essa não é uma conta muito fácil, veja bem, se X seguir uma distribuição normal, a conta é:

Se seguir outra distribuição, fica ainda mais complicado. Até dá para calcular, mas tem um jeito bem melhor. Se você lembra das aulas de cálculo, podemos calcular a série de Taylor dessa função:

Aproveitando que a esperança é um operador linear, e ignorando o , já que ele é uma constante:

Bom, é simplesmente a média de X e , é muito próximo do desvio padrão. Dessa forma, para uma utilidade quadrática, SÓ importa a média e o desvio padrão. Novamente, vol e risco são sinônimos. Porém, entretanto, toda via, a utilidade quadrática tem um problema, se W > α a utilidade começa a cair. Mais dinheiro é pior que menos dinheiro.